理学部情報科学科

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塚田研究室

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研究室紹介

塚田研究室

本研究室では、情報科学のベースとなる数学を、関数解析学という数学の分野の手法を用いて研究しています。関数解析学はその名前の通り、関数を研究する分野ですが、1つ1つの関数を研究するのではなく、関数の集まり(集合)と、その関数の集まりの上で定義された関数を研究する学問です。例えば定積分は関数に対してある値が決まりますから、関数の関数ということができます。ベクトルもまた関数の1つです。実は関数はベクトルの一つと言った方が良いかもしれません。数列もまたベクトルの一つです。関数や数列をベクトルと見ると、このベクトルは一般に無限次元のベクトルになります。行列はベクトルをベクトルに対応させる関数と見ることができますが、無限次元の世界では、行列計算は積分計算になります。何でこんなことが情報の世界と密接に結びついているかというと、ある種の情報はこれもベクトルと考えることができます。情報から何か有用な情報を取り出すという作業では積分計算(有限次元ならば行列計算)をしていることが非常に多いのです。情報から雑音を取り除いたり、情報を圧縮して効率的に伝えるというとき、このような数学が必要になってきます。
 ゼミでは集合、位相、距離、測度論など、関数解析学の基礎となる数学の専門書を輪講します。また、単なる机上の空論に終わらないように、学んだ数理的手法をコンピュータに実装してシミュレーション実験を行ったりもします。

研究内容

Hilbert空間およびBanach空間と、その上の作用素の研究

信号処理、統計解析あるいは数理計画法において、信号、統計量、目的関数といったものは関数空間とその上の汎関数や作用素として捉えることができる。Fourier解析はそのような数理的手法の中で最も成功し応用範囲が広く直交という概念を持ち最小2乗法が成立する空間であるHilbert空間とその上の作用素(行列の一般化)の理論として美しい体系を持つ。近年、Fourier解析な代わるウェーブレット解析という手法が注目されてきているが、Fourier解析ほど美しい体系は完成していない。直交という概念を持たず最小2乗法が成立しない空間Banach空間において新たな体系を作ることを目指している。

量子論的確率論および情報理論の研究

通常の確率論では事象系がBoole代数となり、測度論によって定式化され確率変数は可測関数となる。しかし不確定性原理が成立する量子力学の世界では、事象系がBoole代数とはならず、Hilbert空間上の部分空間が作る束となる。また、確率変数に対応するものが線形作用素となる。このような枠組みで、通常の確率論で成立している様々な極限定理(大数の法則、エルゴード定理、マルチンゲール収束定理、中心極限定理)の一般化を試みている。

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