理学部情報科学科

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関数解析学

担当教員 高橋 眞映

授業目的

この授業では主にヒルベルト空間論の初歩について学ぶ。ヒルベルト空間とは、ユークリッド空間を一般化した無限次元も含む空間のことである。内積を持ち、完備性を備えているので解析が比較的容易である。また、応用性を極めて広い。確率・統計、確率過程、情報理論、信号処理、パターン認識、統計物理学、量子力学など、ヒルベルト空間をベースとしてモデル化される理論は数多くある。この授業では、正規直交基底とそれに基づくフーリエ展開を理解することが最初の目標である。さらに、ヒルベルト空間上の有界線形写像について学び、フーリエ変換を代表とする積分変換についても言及する。

授業内容

最初に、線形空間上の計量である内積とノルムについて学ぶ。また、完備性が果たす重要な役割について理解し、その応用としての最短距離定理やフーリエ展開について学ぶ。後半は、ヒルベルト空間上の線形作用素を学び、線形代数で学んだ行列との関連について述べる。最後に、ノルムから定義される位相とは別に弱位相という概念についても学ぶ。

関連科目

情報数理IIIB、情報数理IIAおよび演習

教科書・参考書

参考書:日合・柳著「ヒルベルト空間と線形作用素」牧野書店

評価方法

筆記試験(中間試験/期末試験)の成績による。

オフィスアワー

木曜日3限、4限

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