理学部情報科学科

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目で見て解る数理:多面体の展開図について

今回は、目で見て解る数学という内容で(3次元の)多面体の展開図の話をしたいと思います。図形の話なので、難しい数式や数学の概念は出てきません。気楽に読みすすられると思います。

1. 多面体とは?

 次の例をみてみましょう。多面体というと大多数の人が真っ先に思い浮かべるのは,(プラトンの)正多面体と呼ばれる下のような立体図形ではないでしょうか。

正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体

 

  調和と均斉がとれたこれらの美しい多面体は,紀元前3,4世紀頃の古くより研究されています。正多面体の正確な定義は「全ての面が合同な正多角形からなり,各頂点に集まる辺の数が全て等しい多面体」であり,全部で5種類存在することが知られています。他にも,美しい多面体として(アルキメデスの)準正多面体と呼ばれるものがあります。正多面体も準正多面体も非常に有名なので、インターネット上で検索すれば様々な情報を得るこくとができます。

 

 一般に多面体といえば、上に書いたような均整のとれたものばかりではありません。例えば次の図形のように、まるでジャガイモのようなでたらめに作ったような図形も多面体なのです。

1. 多面体とは?01

 多面体とは、次の様に二通りの方法で定義されます。

 

   (a) 3次元空間内にいくつかの点をばらまいて、それらの点を含む体積最小の凹みのない立体図形
   (b) 3次元空間内をいくつかの平面で切り取った立体図形

 

(a)の表現を「有限個の点の凸包」(b)の表現を「有限の半空間の共通部分」と言います。下の図は、上の(a) (b)の定義の2次元の場合のイメージ図です。2次元の場合 (b) は平面で切り取るのではなく、直線で切り取ることになります。

1. 多面体とは?02

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